Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）若sin2x+af（x+ ）+1＞6cos4x對任意x∈（﹣ ， ）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1，

可得：f（x）=4cosx（ sinx+ cosx）﹣1

= sin2x+2cos2x﹣1

= sin2x+cos2x

=2sin（2x+ ）

由 （k∈Z），

解得：

所以：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為

（Ⅱ）由題意：當 時，

原不等式等價于a2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，

即 恒成立

令 =

∵ ，當x=0時，cosx取得最大值，即cosx=1時，那么g（x）也取得最大值為 ．

因此， ．

【解析】（Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求出f（x+ ）的值，帶到題設中去，化簡，求函數(shù)在x∈（﹣ ， ）的最值，即可恒成立，從而求實數(shù)a的取值范圍．

【考點精析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；函數(shù)，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．