Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)-2sin2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且f(B)=

1

2

．b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式利用兩角差的余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，結(jié)果化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的周期，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）把x=B代入（Ⅰ）化簡得到的f（x）中，讓其值等于

1

2

，根據(jù)角B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，由sinB，b及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，進(jìn)而求出C的度數(shù)，分別根據(jù)直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)-2sin2x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-（1-cos2x）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x-1=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）-1
=

3

sin（2x+

π

3

）-1，
∴T=

2π

2

=π，
∵正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為：[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]   (k∈Z)；
（Ⅱ）∵B∈(0，π)，f(B)=

1

2

，即

3

sin（2B+

π

3

）-1=

1

2

，
∴sin（2B+

π

3

）=

3

2

，
∴2B+

π

3

=

2π

3

或2B+

π

3

=

π

3

（舍去），
∴B=

π

6

，即sinB=

1

2

，又b=1，c=

3

，
由正弦定理得：sinC=

1 2 × 3

1

=

3

2

，又C∈（0，π），
∴C=

π

3

或

2π

3

，
當(dāng)C=

π

3

時，由B=

π

6

得到A=

π

2

，即三角形為直角三角形，
由b=1，c=

3

，根據(jù)勾股定理得：a=2；
當(dāng)C=

2π

3

時，由B=

π

6

得到A=

π

6

，即三角形為等腰三角形，
則a=b=1，
綜上，a的值為2或1．

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期及值域，正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值．求函數(shù)周期的方法是將函數(shù)利用三角函數(shù)的恒等變形化為一個角的三角函數(shù)，然后利用周期公式T=

2π

λ

求出函數(shù)的周期；學(xué)生在第二問求角C度數(shù)時，注意兩種情況的考慮．