Question

6．為了解今年某省高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況，現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個(gè)樣本容量為240的樣本，并將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了如圖所示的頻率分布直方圖（計(jì)算結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）．
（1）求a的值，并用該樣本估計(jì)全省報(bào)考飛行員學(xué)生的體重的中位數(shù)；
（2）若以樣本數(shù)據(jù)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，且從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任選二人，設(shè)X表示體重超過(guò)60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率和為1，列方程求出a的值，根據(jù)中位數(shù)兩邊的頻率相等，求出中位數(shù)的值；
（2）計(jì)算一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60公斤的頻率，用頻率表示概率知X服從二項(xiàng)分布，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)頻率和為1，得
（0.025+a+0.075+0.0375+0.0125）×5=1，
解得a=0.05，
0.025×5+0.05×5=0.375＜0.5，
0.375+0.075×5=0.75＞0.5，
∴中位數(shù)位于60～65內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為x，則（x-60）×0.075+0.375=0.5，
解得x=$\frac{185}{3}$，
∴估計(jì)全省報(bào)考飛行員學(xué)生體重的中位數(shù)為$\frac{185}{3}$；
（2）一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60公斤的頻率為
（0.075+0.0375+0.0125）×5=$\frac{5}{8}$，
用頻率表示概率知，p=$\frac{5}{8}$；
又X服從二項(xiàng)分布，且
P（X=k）=${C}_{2}^{k}$•${（\frac{5}{8}）}^{k}$•${（1-\frac{5}{8}）}^{2-k}$，k=0，1，2；
∴P（X=0）=${C}_{2}^{0}$•${（\frac{3}{8}）}^{2}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{5}{8}$•$\frac{3}{8}$=$\frac{30}{64}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}$•${（\frac{5}{8}）}^{2}$=$\frac{25}{64}$；
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{9}{64}$	$\frac{30}{64}$	$\frac{25}{64}$

則數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{9}{64}$+1×$\frac{30}{64}$+2×$\frac{25}{64}$=$\frac{5}{4}$．
（或EX=2×$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．