Question

（2011•江西模擬）已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x，數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，ln（2a_n+1）=a_n+1•a_n+f（a_n+1•a_n）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=1，證明：數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，證明：a₁+a₂+…+a_n＜n+ln

2

n+2

．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=-

x-(a-1)

x+1

，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，則f（x）在（-1，+∞）遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0．由此能f（x）的單調(diào)性．
（2）由a_n+1=

1

2-an

，知an+1-1=

1

2-an

-1，所以

1

an+1-1

 =

1

an-1

-1，由此能證明數(shù)列{

1

an-1

}是等差數(shù)列．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（-1，0）遞增，在（0，+∞）遞減，所以ln（x+1）≤x，故ln（

1

n+1

+1)＜

1

n+1

，即：ln

n+2

n+1

＜

1

n+1

，由此能夠證明a₁+a₂+…a_n=n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)＜n-(ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+2

n+1

)=n+ln

2

n+2

．

解答：解：（1）f'（x）=-

x-(a-1)

x+1

當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，
則f（x）在（-1，+∞）遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；
x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0；
∴當(dāng)a＞0時(shí)，在（-1，a-1）上f（x）遞增，
在（a-1，+∞）上f（x）遞減…..（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x，數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，
ln（2a_n+1）=a_n+1•a_n+f（a_n+1•a_n），a=1，
∴l(xiāng)n（2a_n+1）=a_n+1•a_n+ln（a_n+1•a_n+1）-a_n+1•a_n，
∴l(xiāng)n（2a_n+1）=ln（a_n+1•a_n+1），
∴2a_n+1=a_n+1•a_n+1，
∴a_n+1=

1

2-an

，
∴an+1-1=

1

2-an

-1，
∴

1

an+1-1

 =

1

an-1

-1，
∴{

1

an-1

}是等差數(shù)列…..（8分）
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（-1，0）遞增，
在（0，+∞）遞減，
∴f（x）≤f（0）=0，
即：ln（x+1）≤x，
∴l(xiāng)n（

1

n+1

+1)＜

1

n+1

，即：ln

n+2

n+1

＜

1

n+1

≤

1

n+1

，
由（2）得：a_n=1-

1

n+1

，
∴a₁+a₂+…a_n
=1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

=n-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)＜n-(ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+2

n+1

)=n+ln

2

n+2

＜n-[ln（

1

2

+1）+ln（

1

3

+1）+…+ln（

1

n+1

+1）]
=n-[ln（

3

2

×

4

3

×…×

n+2

n+1

）]
=n-ln

n+2

2

=n+ln

2

n+2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．