Question

（2010•湖北模擬）雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），l₁，l₂為其漸近線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過(guò)F作l∥l₂且l交雙曲線C于R，交l₁于M．若

FR

=λ

FM

，且λ∈（

1

2

，

2

3

），則雙曲線的離心率的取值范圍為（　　）

• A．（1，

  2

  ]
• B．（

  2

  ，

  3

  ）
• C．（

  3

  ，

  5

  ）
• D．（

  5

  ，+∞）

Answer 1

分析：由題意，可給出漸近線的方程，直線l的方程，由題設(shè)條件建立方程解出兩點(diǎn)M，R的坐標(biāo)，從而給出兩向量

FR

，

FM

的坐標(biāo)，代入

FR

=λ

FM

，由向量相等的得到關(guān)于a，c的方程，結(jié)合離心率的定義，將此方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，解方程求出e即可選正確選項(xiàng)

解答：解：由題意得l₁：y=-

b

a

x，l₂：y=

b

a

x，l：y=

b

a

(x-c)，
由l交雙曲線C于R，令

y= b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

，解此方程組得R（

a2+c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）
故有

FR

=（

a2-c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）
由l交l₁于M，令

y= b a (x-c) y=- b a x

解此方程組得M（

c

2

，-

bc

2a

）
故有

FM

=（-

c

2

，-

bc

2a

）
由

FR

=λ

FM

，得（

a2-c2

2c

，

b

a

×

a2-c2

2c

）=λ（-

c

2

，-

bc

2a

）
所以

a2-c2

2c

=-

λc

2

，整理得a²=（1-λ）c²，即e²=

1

1-λ

又λ∈（

1

2

，

2

3

），
∴e²∈（2，3），即e∈（

2

，

3

）
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線，直線與雙曲線交點(diǎn)的求法，離心率公式，向量的相等及向量坐標(biāo)表示等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，得到關(guān)于e的方程，本題計(jì)算量大，極易出錯(cuò)，但解題思維難度低，這是圓錐曲線問(wèn)題的特點(diǎn)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，避免計(jì)算失誤造成解題無(wú)法進(jìn)行，本題考查了計(jì)算能力，推理判斷的能力及方程的思想轉(zhuǎn)化的思想，屬于計(jì)算難度較大的題