Question

（14分）如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD＝a．

（1）求證：MN∥平面PAD；

（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

試題分析：如答圖所示

⑴設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE、NE，

由N為PD的中點(diǎn)知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB

又M是AB的中點(diǎn)，∴ENAN，

∴AMNE是平行四邊形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD

證明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD.

考點(diǎn)：本題主要考查平行關(guān)系及垂直關(guān)系。

點(diǎn)評：立體幾何問題，常常要轉(zhuǎn)化成平面幾何問題。要牢固樹立這種轉(zhuǎn)化意識，從而運(yùn)用平面幾何知識解答問題。這里較多地運(yùn)用了三角形中的線線平行關(guān)系。