Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162m²的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價為40元/m，中間兩道隔墻建造單價為24.8元/m，池底建造單價為8元/m²，水池所有墻的厚度忽略不計．
（Ⅰ）試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；
（Ⅱ）若由于地形限制，該池的寬不能超過5m，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)污水處理池的寬為xm，則長為

162

x

m．推出總造價函數(shù)的解析式，利用基本不等式求出最值．
（2）由限制條件知0＜x≤5，設(shè)g（x）+x+

100

x

（0＜x≤5），通過函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）設(shè)污水處理池的寬為xm，則長為

162

x

m
總造價為f（x）=40×(2x+2×

162

x

)+24.8×2x+8×162-----（2分）
=129.6x+

129.6×100

x

+1296=129.6(x+

100

x

)+1296
≥129.6×2

x• 100 x

+1296=3888元．-----（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=

100

x

（x＞0），即x=10時取等號．-----（5分）
∴當(dāng)長為16.2m，寬為10m時總造價最低，最低總造價為3888元．-----（6分）
（2）由限制條件知0＜x≤5，設(shè)g（x）+x+

100

x

（0＜x≤5），
由函數(shù)性質(zhì)g（x）在[0，5]上是減函數(shù)，-----（8分）
∴當(dāng)x=5時（此時

162

x

=32.4），g（x）有最小值，-----（10分）
即f（x）有最小值129.6×(5+

100

5

)+1296=4536（元）．-----（11分）
∴當(dāng)長為32.4m，寬為5m時總造價最低為4536元．-----（12分）

點評：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，實際問題的應(yīng)用，基本不等式求解函數(shù)的最值，以及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．