Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（-4，0），過點P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當線段MN的中點落在正方形內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)正方形的面積求出橢圓中參數(shù)a的值且判斷出參數(shù)b，c的關(guān)系，根據(jù)橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系求出b，c的值，即可得到橢圓的方程．
（II）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用二次方程的韋達定理得到弦中點的坐標，根據(jù)中點在正方形的內(nèi)部，得到中點的坐標滿足的不等關(guān)系，即可求直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c，
由題設(shè)條件知，a²=8，b=c，所以b2=

1

2

a2=4
故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1  …（6分）．
（2）橢圓C的左準線方程為x=-4，所以點P的坐標為（-4，0）
顯然直線l的斜率k存在，所以可設(shè)直線l的方程為y=k（x+4）．
設(shè)點M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段MN的中點為G（x₀，y₀）
由

y=k(x+4) x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②
因為x₁，x₂是方程①的兩根，所以x1+x2=-

16k2

1+2k2

，
于是有x0=

x1+x2

2

= -

8k2

1+2k2

，y0=k(x0+4)=

4k

1+2k2

因為x0= -

8k2

1+2k2

≤0，所以點G不可能在y軸的右邊，
又直線F₁B₂，F(xiàn)₁B₁方程分別為y=x+2，y=-x-2
所以點G在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

即

4k 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥  8k2 1+2k2 - 2

亦即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

解得

- 3 -1

2

≤k≤

3 - 1

2

，此時②也成立．
故直線l斜率的取值范圍是[

- 3 +1

2

，

3 - 1

2

] …（15分）

點評：本題通過正方形的面積轉(zhuǎn)化為邊長，要求學(xué)生能通過橢圓的定義，得到橢圓的相關(guān)基本量．第二問對于“線段MN的中點落在正方形內(nèi)（包括邊界）”是學(xué)生的思維難點，進行有效的代數(shù)化是解題的關(guān)鍵．可以讓學(xué)生回憶數(shù)學(xué)中關(guān)于平面區(qū)域中位置的判斷方法，找到它的充要條件．