Question

已知函數(shù)f（x）=

ax(x＜0) (a-3)x+4a(x≥0)

滿足對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，所以對于a^x，0＜a＜1；對于（a-3）x+4a，a＜3，又a^x＞1，所以（a-3）x+4a的最大值滿足小于等于1，而（a-3）x+4a對于x≥0時的最大值為4a，所以4a≤1，所以得到a≤

1

4

，和前面的0＜a＜1的a的取值求交集即得a的取值范圍．

解答： 解：∵對任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立；
∴f（x₁）-f（x₂）與x₁-x₂異號，
即x₁-x₂＜0時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
∴x＜0時，f（x）=a^x，0＜a＜1；
x≥0時，f（x）=（a-3）x+4a，a-3＜0，a＜3，又a^x＞1，（（a-3）x+4a）_max=4a≤1，
∴a≤

1

4

；
又0＜a＜1，∴0＜a≤

1

4

；
∴a的取值范圍是(0，

1

4

]．
故答案為：(0，

1

4

]．

點評：考查單調(diào)性的定義，分段函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一次函數(shù)的單調(diào)性，以及對于單調(diào)性定義的利用．