Question

（2011•洛陽二模）給出下列命題：
①設(shè)向量

e1

，

e2

滿足|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

，

e2

的夾角為

π

3

．若向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍是（-7，-

1

2

）；
②已知一組正數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄的方差為s²=

1

4

（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-4，則x₁+1，x₂+1，x₃+1，x₄+1的平均數(shù)為1
③設(shè)a，b，c分別為△ABC的角A，B，C的對邊，則方程x²+2ax+b²=o與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是A=90°；
④若f（n）表示n²+1（n∈N）的各位上的數(shù)字之和，如11²+1=122，1+2+2=5，所以f（n）=5，記f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[f₁（n）]，…f_k+1（n）=f[f_k（n）]，k∈N，則f₂₀（5）=11．
上面命題中，假命題的序號是

②

 （寫出所有假命題的序號）．

Answer 1

分析：①依據(jù)兩向量夾角為鈍角，得到其數(shù)量積小于零，即可得到；
②根據(jù)方差的公式求得原數(shù)據(jù)的平均數(shù)后，求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
③從充分性與必要性兩方面給出證明；
④考查歸納猜想的能力及數(shù)列的周期性．

解答：解：①、由于向量2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角為鈍角，則2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的數(shù)量積小于0，
即2t²+15t+7＜0，解得-7＜t＜-

1

2

，故①正確；
②、由于s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，
則s²=

1

4

[x₁²+x₂²+x₃²+x₄²-2（x₁+x₂+x₃+x₄）•

.

x

+4•

.

x

2]=

1

4

[（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-4

.

x

²]
=

1

4

（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-

.

x

2=

1

4

（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²）-4，所以

.

x

=2
對于數(shù)據(jù)x₁+1，x₂+1，x₃+1，x₄+1，x₅+1，則其平均數(shù)是

.

x

+1=3，故②錯；
③由于方程x²+2ax+b²=o與x²+2cx-b²=0有公共根，不妨設(shè)為α，
則

α2+2aα+b2=0 α2+2cα-b2=0

①   ②

∴2α²+2α（a+c）=0．
∴α=-（a+c），將α=-（a+c）代入①得到：a²=b²+c²，∴∠A=90°
∵∠A=90°，∴a²=b²+c²，
于是方程x²+2ax+b²=0可化為x²+2ax+a²-c²=0，
即[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，所以該方程有兩根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．
同理方程x²+2cx-b²=0有兩根x₃=-（a+c），x₄=-（c-a），發(fā)現(xiàn)x₁=x₃，
所以這兩個方程有公共根．
綜上可知，方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有公共根的充要條件是A=90°，故③正確；
④由于5²=25，25+1=26，6+2=8，∴f₁（5）=f（5）=8；
8²=64，64+1=65，6+5=11，∴f₂（5）=11．
11²=121，121+1=122，1+2+2=5，∴f₃（5）=5；
5²=25，25+1=26，2+6=8，∴f₄（5）=8；
由此猜想{f_k（5）}是一個周期為3的數(shù)列，而3×8+2=20
所以f₂₀（5）=f₂（5）=11，故④正確．
故答案為②

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，分別考查了數(shù)量積，方差，充要條件及數(shù)列的相關(guān)知識，我們需對四個結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，方可得到正確的結(jié)論．