Question

（2013•昌平區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=

3

sin(π-2x)-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（

π

2

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x-

π

6

），由此求得 f（

π

2

）的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求得它的周期，由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范圍，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

3

sin(π-2x)-2cos²x+1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），…..（4分）
∴f（

π

2

）=2sin（2×

π

2

-

π

6

）=2×

1

2

=1．（6分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

6

） 的最小正周期 T=

2π

2

=π，…（8分）
又由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

]，k∈z．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的周期性和求法，求復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．