分析 (Ι)推導(dǎo)出AEF∽△CBF,從而AC⊥BE,再求出AC⊥GF,由此能證明AF⊥平面BEG.
(Ⅱ)以點(diǎn)F為原點(diǎn),F(xiàn)A,F(xiàn)E,F(xiàn)G所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E-AG-B所成角的余弦值.
解答 證明:(Ι)∵四邊形ABCD為矩形,∴△AEF∽△CBF,
∴AFCF=EFBF=AEBC=12…(1分)
又∵矩形ABCD中,AB=1,AD=√2,∴AE=√22,AC=√3
在Rt△BEA中,BE=√AB2+AE2=√62,∴AF=13AC=√33,BF=23BE=√63
在△ABF中,AF2+BF2=(√33)2+(√63)2=1=AB2
∴∠AFB=90°,即AC⊥BE…(2分)
∵GF⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥GF…(3分)
又∵BE∩GF=F,BE,GF?平面BCE,
∴AF⊥平面BEG…(4分)
解:(Ⅱ)由(Ι)得AD,BE,F(xiàn)G兩兩垂直,
以點(diǎn)F為原點(diǎn),F(xiàn)A,F(xiàn)E,F(xiàn)G所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(√33,0,0),B(0,−√63,0),G(0,0,√33),E(0,√66,0),
→AB=(−√33,−√63,0),→AG=(−√33,0,√33),→EG=(0,−√66,√33),→AE=(−√33,√66,0)…(6分)
設(shè)→n=(x,y,z)是平面ABG的法向量,
則{→AB•→n=0→AG•→n=0,即{−√33x−√63y=0−√33x+√33z=0,取x=√2,得→n=(√2,−1,√2)…(8分)
設(shè)→m=(x,y,z)是平面AEG的法向量,
則{→AE•→n=0→AG•→n=0,即{−√33x+√66y=0−√33x+√33z=0,取x=1,得→m=(1,√2,1)…10分
設(shè)平面AEG與平面ABG所成角的大小為θ,
則|{cosθ}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}…(11分)
∵平面AEG與平面ABG成鈍二面角
∴二面角E-AG-B所成角的余弦值為-\frac{{\sqrt{10}}}{10}.….(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 8 | B. | 4\sqrt{3} | C. | \frac{{4\sqrt{3}}}{3} | D. | \frac{32}{3} |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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