Question

在n×n個實數組成的n行n列數表中，先將第一行的所有空格依次填上1，2，2²，2³…2^n-1，再將首項為1公比為q的數列{a_n}依次填入第一列的空格內，然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規(guī)律填寫其它空格．

	第1列	第2列	第3列	第4列		第n列
第1行	1	2	22	23		2n-1
第2行	q
第3行	q2
第4行	q3
…
第n行	qn-1

（Ⅰ）設第2行的數依次為B₁，B₂，B₃…B_n．試用n，q表示B₁+B₂+B₃+…+B_n的值；
（Ⅱ）設第3行的數依次為C₁，C₂，C₃…C_n，記為數列{C_n}．
①求數列{C_n}的通項C_n；
②能否找到q的值使數列{C_n}的前m項C₁，C₂，C₃…C_m（m≥3，m∈N⁺）成等比數列？若能找到，m的值是多少？若不能找到，說明理由．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據n×n數表的規(guī)律，可得B₁+B₂+B₃+…+B_n=q+（2+q）+（2+2²+q）+…+（2+2²+…+2^n-1+q），再分組求和，即可得出結論；
（Ⅱ）①第3行的通項C_n=B₂+B₃+…+B_n+q²=（B₁+B₂+B₃+…+B_n）+q²-B₁；
②當m=3時，設C₁，C₂，C₃成等比數列，求出q，再分類討論，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）B₁+B₂+B₃+…+B_n=q+（2+q）+（2+2²+q）+…+（2+2²+…+2^n-1+q）
=[（2¹-2）+（2²-2）+…+（2ⁿ-2）]+nq=2ⁿ⁺¹-2（n+1）+nq；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知B₁+B₂+B₃+…+B_n=2ⁿ⁺¹-2（n+1）+nq，
∴第3行的通項C_n=B₂+B₃+…+B_n+q²=（B₁+B₂+B₃+…+B_n）+q²-B₁
=2ⁿ⁺¹-2（n+1）+（n-1）q+q²，
∴Cn=2n+1-2(n+1)+(n-1)q+q2
②當m=3時，設C₁，C₂，C₃成等比數列，則C1C3=

C

2 2

，
∴q²（8+2q+q²）=（2+q+q²）²，
化簡得3q²-4q-4=0，
解得q=2或q=-

2

3

當q=2時，Cn=2n+1，∴

Cn

Cn-1

=2，
∴當q=2時數列C₁，C₂，C₃…C_n的前m項（m∈N⁺，m≥3）成等比數列；
當q=-

2

3

時，C1=

4

9

，C2=

16

9

，C3=

64

9

，C4=

184

9

，
∴

C2

C1

=

C3

C2

≠

C4

C3

，
∴當且僅當m=3，q=-

2

3

時C₁，C₂，C₃成等比數列．

點評：本題主要考查等比數列的定義、判斷、數列求和．考查閱讀、計算、分析解決問題的能力．