Question

如圖所示，在矩形ABCD中，且AB=1，BC=a，現沿AC折成二面角D－AC－B，使BD⊥AD，BD⊥BC．

(1)求證：平面ABD⊥平面ABC；

(2)a為何值時，二面角D－AC－B為45°？

(3)a為何值時，異面直線AC與BD所成的角為60°？

Answer 1

答案：
解析：

如圖，(1)∵AD⊥CD，AD⊥BD， ∴AD⊥面BCD， ∴BC⊥AD，又BC⊥BD， ∴BC⊥平面ABD，而BCÌ 面ABC，故面ABD⊥面ABC (2)∵面ABD⊥面ABC，作DE⊥AB于E，則 DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，可證明AC⊥DF， ∴∠DFE為二面角D－AC－B的平面角． 在Rt△ADC中，，∴， 又Rt△AFE∽Rt△ABC， ∴， 在Rt△ADC中，， 在Rt△DEF中，， 即，∴． (3)作BM⊥AC于M過點B作BN∥AC與FE的延長線交于點N，則BMFN為矩形，且BN⊥DN．于是∠DBN為異面直線AC與BD所成的角． ∵， 在Rt△CBD中，． 在Rt△BND，， 即，解之得．

提示：

第(1)問易證，第(2)問和第(3)問要分別作出平面角和線線角，然后建立含a的方程即可．本題是有關面面角、線線角的逆向問題，關鍵是作出這些角，然后歸結為解有關三角形，難點是計算三角形中有關的線段長．