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求函數f(x)=sinx+cosx+sinxcosx. x∈﹝0, ﹞的最大值并求出相應的x值.

 

【答案】

x=。

【解析】

試題分析：利用sinx與cosx的平方關系，令sinx+cosx=t，通過換元，將三角函數轉化為二次函數，求出對稱軸，利用二次函數的單調性求出最值．

設t=sinx+cosx=sin(＋x),………(2分）    x∈﹝0, ﹞

∴…………（5分）則

∴函數f(x)=sinx+cosx+sinxcosx=……（8分）

∴函數f(x)在（1，）單調遞增，∴當t=，t=sinx+cosx=sin(＋x)時函數f(x)有最大值+……（10分）    

此時，t=sinx+cosx=sin(＋x)=，x=……………（12分）..考點：同角三角函數的基本關系的運用；二次函數的性質的；換元法求三角函數的最值.

點評：本小題主要是利用兩角和公式的化簡求值，二次函數的性質．此題是用換元法，轉化思想.但要注意在換元時變量的取值范圍．

 

練習冊系列答案
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已知在銳角△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
，
（1）求∠B；（2）求函數f(x)=sinx+2sinBcosx，(x∈[0，
π
2
])的最小值及單調遞減區(qū)間．

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（08年北師大附中月考文） 已知銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且tanB =；

（1）求角B；

（2）求函數f (x ) = sinx + 2sinBcosx（x∈[0，]）的最大值.

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求函數f (x) =sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx 的最小值 . 其中  secx=, cscx= .

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求函數f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x的最大值及取得最大值時x的值.

      

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