Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓x²+4y²=4m（m＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足則m的值為________．

Answer 1

1
分析：將橢圓x²+4y²=4m化成標(biāo)準(zhǔn)方程，并結(jié)合橢圓定義，得||+||=4，由已知化簡(jiǎn)整理，即可得到||²+||²=16m-4．再根據(jù)，得△PF₁F₂是以F₁F₂為斜邊的直角三角形，利用勾股定理列式得||²+||²=12m，將得到的式子進(jìn)行對(duì)照，即可解出m的值．
解答：橢圓x²+4y²=4m化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得
∴a²=4m，b²=m，得a=2，b=
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴…①
①式平方，得||²+||²+2=16m
∵，∴||²+||²=16m-4…②
∵，∴，得△PF₁F₂是以F₁F₂為斜邊的直角三角形
∴||²+||²=||²=4c²=4a²-4b²=12m…③
．比較②③，可得16m-4=12m，解之得m=1
故答案為：1
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的橢圓方程，在焦點(diǎn)三角形是直角三角形且已知兩條直角邊之積的情況下，求參數(shù)的值，著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．