Question

【題目】隨著生活水平和消費(fèi)觀念的轉(zhuǎn)變，“三品一標(biāo)”（無公害農(nóng)產(chǎn)品、綠色食品、有機(jī)食品和農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志）已成為不少人的選擇，為此某品牌植物油企業(yè)成立了有機(jī)食品快速檢測(cè)室，假設(shè)該品牌植物油每瓶含有機(jī)物A的概率為p（0＜p＜1），需要通過抽取少量油樣化驗(yàn)來確定該瓶油中是否含有有機(jī)物A，若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性則含A，呈陰性則不含A．若多瓶該種植物油檢驗(yàn)時(shí)，可逐個(gè)抽樣化驗(yàn)，也可將若干瓶植物油的油樣混在一起化驗(yàn)，僅當(dāng)至少有一瓶油含有有機(jī)物A時(shí)混合油樣呈陽性，若混合油樣呈陽性，則該組植物油必須每瓶重新抽取油樣并全部逐個(gè)化驗(yàn)．
（1）若 ，試求3瓶該植物油混合油樣呈陽性的概率；
（2）現(xiàn)有4瓶該種植物油需要化驗(yàn)，有以下兩種方案： 方案一：均分成兩組化驗(yàn)；方案二：混在一起化驗(yàn)；請(qǐng)問哪種方案更適合（即化驗(yàn)次數(shù)的期望值更小），并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)X為3瓶該植物油中油樣呈陽性的瓶數(shù)，

所求的概率為 ，

所以3瓶該種植物油的混合油樣呈陽性的概率為

（2）解：設(shè)q=1﹣p，則0＜q＜1．

方案一：設(shè)所需化驗(yàn)的次數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為2，4，6次， ， ．

方案二：設(shè)所需化驗(yàn)的次數(shù)為Z，則Z的所有可能取值為1，5次，P（Z=1）=q4，P（Z=5）=1﹣q4，E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）=5﹣4q4．

因?yàn)镋（Y）﹣E（Z）=6﹣4q2﹣（5﹣4q4）=（2q2﹣1）2≥0，即E（Y）≥E（Z），

所以方案二更適合

【解析】（1）設(shè)X為3瓶該植物油中油樣呈陽性的瓶數(shù)，利用相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得所求的概率為P（X≥1）=1﹣P（X=0）．（2）設(shè)q=1﹣p，則0＜q＜1．方案一：設(shè)所需化驗(yàn)的次數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為2，4，6次，利用二項(xiàng)分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．方案二：設(shè)所需化驗(yàn)的次數(shù)為Z，則Z的所有可能取值為1，5次，P（Z=1）=q4 ， P（Z=5）=1﹣q4 ， E（Z）=1×q4+5×（1﹣q4）．進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．