Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|{1-x}|，x∈（{-∞，2}）\\ 3f（{x-2}），x∈[2，+∞）\end{array}$，則函數(shù)g（x）=f（x）-cosπx在區(qū)間[0，8]內(nèi)所有零點的和為（　�。�

• A． 16
• B． 30
• C． 32
• D． 40

Answer 1

分析 在同一個坐標系中作出函數(shù)f（x）和y=cosπx的圖象，由圖象的局部對稱可得結(jié)果．

解答 解：
當0≤x≤1時，f（x）=x，
當1＜x＜2時，f（x）=-x+2，
當2≤x≤3時，f（x）=3f（x-2）=3（x-2），
當3＜x＜4時，f（x）=3f（x-2）=3[-（x-2）+2]=-3（x-4），
當4≤x≤5時，f（x）=3f（x-2）=3（3x-6）=9（x-2），
當5＜x＜6時，f（x）=3f（x-2）=-9（x-6），當6≤x≤7時，f（x）=3f（x-2）=27（x-6），當7＜x≤8時，f（x）=-27（x-8），在同一坐標系中畫出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=cosπx的圖象，如圖：

由圖可知點A，B關(guān)于x=1對稱，點C，D關(guān)于x=3對稱，點E，F(xiàn)關(guān)于x=5對稱，點G，H關(guān)于x=7對稱，
設(shè)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H的橫坐標分別為a，b，c，d，e，f，g，h，則a+b=2，c+d=6，e+f=10，g+h=14，
∴a+b+c+d+e+f+g+h=32．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)零點與方程的根以及函數(shù)圖象的關(guān)系．解題關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象，利用對稱性求解．屬于較難題．