Question

某種項(xiàng)目的射擊比賽，開始時(shí)射手在距離目標(biāo)100m處射擊，若命中則記3分，且停止射擊．若第一次射擊未命中，可以進(jìn)行第二次射擊，但需在距離目標(biāo)150m處，這時(shí)命中目標(biāo)記2分，且停止射擊．若第二次仍未命中，還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)需在距離目標(biāo)200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊．若三次都未命中則記0分，并停止射擊．已知射手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為

1

2

，他的命中率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求射手甲在三次射擊中命中目標(biāo)的概率；
（Ⅱ）求射手甲在比賽中的得分不少于1分的概率．

Answer 1

分析：（I）記出事件記射手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事件A、B、C，三次均為擊中目標(biāo)為事件D，分別做出幾種事件的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率和互斥事件的概率得到結(jié)果．
（II）記出事件記射手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事件A、B、C，三次均為擊中目標(biāo)為事件D，分別做出幾種事件的概率，做出射手甲在比賽中的得分不少于1分的概率．得到結(jié)果．

解答：解：記射手甲第一、二、三次射擊命中目標(biāo)分別為事件A、B、C，三次均為擊中目標(biāo)為事件D，則P(A)=

1

2

．
設(shè)射手甲在xm處擊中目標(biāo)的概率為P（x），則P(x)=

k

x2

．
由x=100m時(shí)P(A)=

1

2

，得

k

1002

=

1

2

，∴k=5000，P(x)=

5000

x2

．
∴P(B)=

2

9

，P(C)=

1

8

，P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

．…（4分）
（I）由于各次射擊是相互獨(dú)立的，所以射手甲在三次射擊中擊中目標(biāo)的概率為P=P(A)+P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•C)=

95

144

．…（8分）
（II）射手甲在比賽中的得分不少于（1分）的概率為P=1-

49

144

=

95

144

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和互斥事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是在解題前所做的先求出所要用到概率，本題是一個(gè)中檔題目．