Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

（1）當(dāng)n=1時，由已知得a12-2a1-a12+1=0
∴a₁=

1

2

同理，可解得 a₂=

1

6

，a₃=

1

12

       （5分）
（2）解法一：由題設(shè)S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0，（*） （6分）
由（1）可得S1=a1=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

由（*）式可得S3=

3

4

由此猜想：Sn=

n

n+1

   （8分）
證明：①當(dāng)n=1時，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，
即Sk=

k

k+1

那么，由（*）得Sk+1=

1

2-Sk

∴Sk+1=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立，根據(jù)①和②可知，
Sn=

n

n+1

對所有正整數(shù)n都成立．（12分）
解法二：由題設(shè)S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴Sn=

1

2-Sn-1

∴Sn-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

=

2-Sn

Sn-1-1

=-1+

1

Sn-1-1

∴數(shù)列{

1

Sn-1

}是以

1

S1-1

=-2為首項，以-1為公差的等差數(shù)列，
∴

1

Sn-1

=-2+(-1)(n-1)=-n-1
∴Sn=1-

1

1+n

=

n

n+1

 （12分）