Question

已知函數(shù)，函數(shù).
⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最大值；
⑵當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
⑶函數(shù)的圖象能否恒在函數(shù)的上方？若能，求出的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）的最大值為，（2）時(shí)，無公共點(diǎn)，時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)或時(shí)函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方.

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，由圖形可知一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相切時(shí)，取最大值，可以用導(dǎo)數(shù)的幾何意義完成；（2）要研究?jī)珊瘮?shù)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，由函數(shù)的定義域可知只需考慮情況，當(dāng)時(shí)，令得，則原命題等價(jià)于研究直線與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象變化情況，易得結(jié)論；（3）把問題轉(zhuǎn)化為：在時(shí)恒成立問題，要注意對(duì)取值情況的討論.
試題解析：⑴，由一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知兩圖象相切時(shí)取最大值，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，, 即實(shí)數(shù)的最大值為，⑵，即原題等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，，在遞增且，在遞減且，時(shí)，無公共點(diǎn)，時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；⑶函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方；即在時(shí)恒成立，①時(shí)圖象開口向下，即在時(shí)不可能恒成立，②時(shí)，由⑴可得，時(shí)恒成立，時(shí)不成立，③時(shí)，若則，由⑵可得無最小值，故不可能恒成立，若則，故恒成立，若則，故恒成立，綜上，或時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方．
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，最值，恒成立問題，滲透數(shù)形結(jié)合思想，分類討論的數(shù)學(xué)思想