設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個命題（　�。�
①當b≥0時，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)；
②當b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實根；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）對稱；
④方程f（x）=0至多有3 個實根，其中正確命題的個數(shù)為．
A、1個B、2個C、3個D、4個
分析：①去掉其絕對值符號，判斷出其在每一段內(nèi)都單調(diào)且連續(xù)即可．
②把b=0，c＞0代入，去掉其絕對值符號，解對應方程即可得結(jié)論．
③利用g（x）=x|x|+bx關(guān)于（0，0）對稱，和g（x）=x|x|+bx與y=f（x）的關(guān)系可得結(jié)論．
④對于b，c分各種情況來討論，并求出對應方程的根，可下結(jié)論．
解答：解：因為f（x）=x|x|+bx+c=
x2+bx+cx≥0
-x2+bx+cx＜0
，
對于①當x≥0時，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）遞增，當x＜0時，f'（x）＞0，所以y=f（x）遞增又y=f（0）=c連續(xù)．故當b≥0時，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)； ①對．
對于②因為f（x）=
x2+cx≥0
-x2+cx＜0
當x≥0時無根，當x＜0時，有一根x=-
c
．故當b=0，c＞0時，方程f（x）=0只有一個實根；②對．
對于③設(shè)g（x）=x|x|+bx，因為g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關(guān)于（0，0）對稱，又函數(shù)y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個單位得到．故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）對稱；故③對．
對于④分各種情況來討論b，c，并求出對應方程的根，就可說明④成立．故④對．
故選  D．
點評：本題是對帶絕對值的二次函數(shù)的綜合考查．通常帶絕對值的函數(shù)研究其性質(zhì)時，要去掉其絕對值符號進行．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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