Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出下列四個(gè)命題（　　）
①當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)b=0，c＞0時(shí)，方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱；
④方程f（x）=0至多有3 個(gè)實(shí)根，其中正確命題的個(gè)數(shù)為．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：①去掉其絕對(duì)值符號(hào)，判斷出其在每一段內(nèi)都單調(diào)且連續(xù)即可．
②把b=0，c＞0代入，去掉其絕對(duì)值符號(hào)，解對(duì)應(yīng)方程即可得結(jié)論．
③利用g（x）=x|x|+bx關(guān)于（0，0）對(duì)稱，和g（x）=x|x|+bx與y=f（x）的關(guān)系可得結(jié)論．
④對(duì)于b，c分各種情況來討論，并求出對(duì)應(yīng)方程的根，可下結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閒（x）=x|x|+bx+c=

x2+bx+c x≥0 -x2+bx+c x＜0

，
對(duì)于①當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＞0，所以y=f（x）遞增又y=f（0）=c連續(xù)．故當(dāng)b≥0時(shí)，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)； ①對(duì)．
對(duì)于②因?yàn)閒（x）=

x2+c x≥0 -x2+c x＜0

當(dāng)x≥0時(shí)無根，當(dāng)x＜0時(shí)，有一根x=-

c

．故當(dāng)b=0，c＞0時(shí)，方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根；②對(duì)．
對(duì)于③設(shè)g（x）=x|x|+bx，因?yàn)間（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx關(guān)于（0，0）對(duì)稱，又函數(shù)y=f（x）的圖象可以由g（x）=x|x|+bx的圖象上下平移c個(gè)單位得到．故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱；故③對(duì)．
對(duì)于④分各種情況來討論b，c，并求出對(duì)應(yīng)方程的根，就可說明④成立．故④對(duì)．
故選  D．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)帶絕對(duì)值的二次函數(shù)的綜合考查．通常帶絕對(duì)值的函數(shù)研究其性質(zhì)時(shí)，要去掉其絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行．