如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD＝2，SA＝1．

(1)求證：PD⊥平面SAP．

(2)求二面角A―SD―P的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(法一)(1)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image185.gif" width=37 height=18>底面ABCD，

　　所以是SB與平面ABCD所成的角　　1分

　　由已知，所以，

　　易求得　　2分

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image190.gif" width=57 height=21>所以，

　　所以　　3分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image194.gif" width=37 height=18>底面ABCD，平面ABCD，

　　所以　　4分

　　由于，所以平面SAP　　5分

　　(2)設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ　　6分

　　由于底面ABCD，且平面SAD，

　　則平面SAD平面PAD　　7分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image202.gif" width=73 height=21>所以平面SAD，

　　過(guò)Q作，垂足為R，連接PR，

　　由三垂線定理可知，

　　所以是二面角的平面角　　9分

　　容易證明∽，則．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image212.gif" width=168 height=25>，

　　所以　　10分

　　在中，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image215.gif" width=88 HEIGHT=21>，

　　所以　　11分

　　所以二面角的余弦值為　　12分

　　(法二)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image218.gif" width=37 height=18>底面ABCD，

　　所以是SB與平面ABCD所成的角　　1分

　　所以，所以．

　　建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

　　由已知P為BC的中點(diǎn)，于是A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(1，1，0)，D(0，2，0)，

　　S(0，0，1)．

　　(1)易求得，(－1，1，0)，(－1，－1，1)．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image225.gif" width=70 height=22>，

　　

　　所以．

　　由于，所以平面SAP　　5分

　　(2)設(shè)平面SPD的法向量為，

　　由得，解得，

　　所以　　8分

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3714/0022/ead965e72b4485bbdbe58b6226fffc1c/C/Image239.gif" width=41 height=17>平面SAD，

　　所以是平面SAD的法向量，

　　易得，二面角為銳二面角　　9分

　　所以　　11分

　　所以的余弦值為　　12


練習(xí)冊(cè)系列答案
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3
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1
3
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1
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π4
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