Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，且，求證：

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）求導(dǎo)，討論其單調(diào)性，求其極值即可;

（2）求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行討論，求其單調(diào)性，得到的范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性和最值可證得所求的范圍即可.

解:(1)

當(dāng)時(shí), 得.

當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,

可得當(dāng)時(shí), 有極小值

(2)由(1)

當(dāng)時(shí), 此時(shí)單調(diào)遞增,

若,可得,與矛盾;

當(dāng)時(shí), 由(1) 知當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,

同理不存在或，使得;

不妨設(shè),則有

因?yàn)?/span>時(shí),單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,

所以當(dāng)時(shí),

由且,可得,故,

又在單調(diào)遞減,且

所以,所以.同理

即

解得

綜上所述,命題得證.