Question

若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是

 

．

Answer 1

分析：對（a+b+c）（b+c-a）=3bc化簡整理得b²-bc+c²=a²，代入余弦定理中求得cosA，進(jìn)而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，
則

sinA

sinB

=2cosC，即

a

b

=2

a2+b2-c2

2ab

，化簡可得b=c，結(jié)合A=60°，進(jìn)而可判斷三角形的形狀．

解答：解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc
∴（b+c）²-a²=3bc
b²+2bc+c²-a²=3bc
b²-bc+c²=a²
根據(jù)余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA
∴b²-bc+c²=a²=b²+c²-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=

1

2

∴A=60°
又由sinA=2sinBcosC，
則

sinA

sinB

=2cosC，即

a

b

=2

a2+b2-c2

2ab

，
化簡可得，b²=c²，
即b=c，
∴△ABC是等邊三角形
故答案為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式．