Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，f（1）=2，且對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，則f（-3）=    ；f（2009）=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x+6）=f（x）+f（3）需要令x=-3，代入求出f（-3）=0，由奇函數(shù)的定義求出f（3）=0，代入關(guān)系式求出此函數(shù)的周期，利用周期性求出f（2009）．
解答：解：由題意知，f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，
∴f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（3）=0，故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是周期為6的周期函數(shù)，
∴f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=f（-1）=-f（1）=-2．
故答案為：0，-2．
點評：本題是一道抽象函數(shù)問題，題目的設(shè)計“小而巧”，解題的關(guān)鍵是巧妙的賦值，利用其奇偶性得到函數(shù)的周期性，再利用周期性求函數(shù)值．靈活的“賦值法”是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．