Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+

1

x-2

，
（1）當(dāng)x＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當(dāng)x≥4時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=x+

1

x-2

改寫成f（x）=（x-2）+

1

x-2

+2，然后利用基本不等式可求出函數(shù)f（x）的最小值，注意等號(hào)成立的條件；
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后根據(jù)x≥4可判斷f′（x）的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）∵x＞2，
∴x-2＞0，
∴f（x）=x+

1

x-2

=（x-2）+

1

x-2

+2≥2

(x-2) 1 x-2

+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x-2=1，即x=3時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（3）=4；
（2）∵f（x）=x+

1

x-2

，
∴f′（x）=1-

1

(x-2)2

=

(x-3)(x-1)

(x-2)2

，
∵x≥4，
∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取得最小值為f（4）=4+

1

2

=

9

2

，
故函數(shù)f（x）的最小值為

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，熟練掌握基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．