Question

（文）已知在四棱錐G-ABCD中，（如圖）ABCD是正方形，且邊長為2，正前方ABCDG面ABCD⊥面ABG，AG=BG．
（ I）在四棱錐G-ABCD中，過點B作平面AGC的垂線，若垂足H在CG上，求證：面AGD⊥面BGC
（ II）在（ I）的條件下，求三棱錐D-ACG的體積及其外接球的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性質可得BC⊥面ABG，則BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由線面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC 
（II）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB，利用等積法可得V_D-ACG=V_G-ACD=GE•S_△ACD，取AC中點M，可證得M即為三棱錐D-ACG的外接球的球心，求出球半徑后，代入球的表面積公式，可得答案．
解答：證明：（I）ABCD是正方形
∴BC⊥AB
∵面ABCD⊥面ABG
∴BC⊥面ABG      …2分
∵AG?面ABG
∴BC⊥AG
又BH⊥面AGC
∴BH⊥AG…4分
又∵BC∩BH=B
∴AG⊥面AGD
∴面AGD⊥面BGC               …6分
（ II）由（ I）知  AG⊥面BGC
∴AG⊥BG
又AG=BG
∴△ABG是等腰Rt△，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB
∴GE⊥面ABCD
∴V_D-ACG=V_G-ACD=GE•S_△ACD=••2a•（2a）²=  …8分
又AG⊥GC
∴取AC中點M，則MG=AC
因此：MG=MA=MC=MD=
即點M是三棱錐D-ACG的外接球的球心，
半徑為
∴三棱錐D-ACG的外接球的表面積S=4πR²=8πa²             …12分．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，球的表面積，其中（1）要熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉化，（2）的關鍵是等積法及球半徑的求解．