Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，公比q>1，且滿足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng).

   （1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

   （2）設(shè)，試比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解：（1）

       的等差中項(xiàng)，

      

       解得q=2或（舍去），

        

   （2）由（1）得，

       當(dāng)n=1時(shí)，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

       當(dāng)n=2時(shí)，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

       當(dāng)n=3時(shí)，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

       當(dāng)n=4時(shí)，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

       由上可猜想，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，A_n<B_n；當(dāng)n≥4時(shí)，A_n>B_n.

       下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：

       ①當(dāng)n=4時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立.

       ②假設(shè)n=k（k≥4）時(shí)，A_k>B_k.成立，即,

      

       即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立，

       由①②知，當(dāng)

       綜上，當(dāng)時(shí)，A_n<B_n；當(dāng)