Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，對于任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2014型增函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a＜-1007
• B、a＜1007
• C、a＜

  1007

  3

• D、a＜-

  1007

  3

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的解析式，再利用新定義對x分類討論和絕對值的意義即可得出．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0．
設(shè)x＜0，則-x＞0．∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
∴f（x）=

|x-a|-2a ，x＞0 0  ，x=0 -|x-a|+2a ，x＜0

．
分類討論：①當x＞0時，由f（x+2014）＞f（x），可得|x+2014-a|-2a＞|x-a|-2a，
化為|x-（a-2014）|＞|x-a|，由絕對值的幾何意義可得a+a-2014＜0，解得
a＜

2014

2

=1007．
②當x＜0時，由f（2014+x）＞f（x），
分為以下兩類研究：當x+2014＜0時，可得-|x+2014+a|+2a＞-|x+a|+2a，
化為|x+2014+a|＜|x+a|，由絕對值的幾何意義可得-a-a-2014＞0，解得a＜1007．
當x+2014＞0，|x+2014-a|-2a＞-|x+a|+2a，化為|x+2014-a|+|x+a|≥|2014-2a|＞4a，
故a≤0時成立．
當a＞0時，a＜

2014

6

=

1007

3

，
③當x=0時，由f（2014）＞f（0）可得|2014-a|-2a＞0，當a≤0時成立，當a＞0時，a＜

2014

3

．
綜上可知：a的取值范圍是a＜

1007

3

．
故選：C．

點評：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、新定義、分類討論和絕對值的意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．