Question

設離心率為e的雙曲線C：的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左右兩支都相交的充要條件是

1. A.
   k²-e²＞1
2. B.
   k²-e²＜1
3. C.
   e²-k²＞1
4. D.
   e²-k²＜1

Answer 1

C
分析：設直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，由此能求出結果．
解答：由題意可設直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：
（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，可設為x₁＞0，x₂＜0：
x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，
因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，
b²-a²k²=c²-a²-a²k²=a²e²-a²-a²k²=a²（e²-1-k²）＞0
e²-1-k²＞0，
e²-k²＞1．
故選c．
點評：本題考查必要條件、充分條件、充要條件的判斷和應用，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質的靈活運用．