Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，分別求函數(shù)的最小值和的最大值，并證明當(dāng)時， 成立；

（3）令，當(dāng)時，判斷函數(shù)有幾個不同的零點并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）函數(shù)只有1個零點.

【解析】試題分析：（1）轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒小于等于零，構(gòu)造函數(shù)，利用根的分布即可求出；（2）分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值；（3）分離函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)，再根據(jù)零點的存在性定理證明即可.

試題解析：

（1）由題意得在上恒成立，

令，有即

得，所以.

（2）由題意可得

令，則， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時， 取最小值3.

，令，得，

當(dāng)， ， 在上單調(diào)遞增，

所以，

因為當(dāng)時， ，

所以當(dāng)時， .

（3）因為，

所以，

其定義域為，

，

因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，

因為，所以， ，

所以，

又，所以函數(shù)只有1個零點.