已知數(shù)學公式．求：
（1）函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的單調減區(qū)間；
（2）當數(shù)學公式時，函數(shù)的最大值、最小值；
（3）函數(shù)的圖象是y=sinx經(jīng)過怎樣的變化得到的？

解：y=3cos2x+2sinxcosx+sin2x
=3×+sin2x+
=sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+）+2，
（1）∵ω=2，∴T==π；
由+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z；
（2）∵x∈[-，]，
∴2x+∈[-，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
則函數(shù)的最大值為4，最小值為2-；
（3）y=sinx圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin（x+），
橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=sin（2x+），
縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變，得到y(tǒng)=2sin（2x+），
向上平移2個單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+）+2．
分析：將函數(shù)解析式三項分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質得出此時正弦函數(shù)的值域，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值與最小值；
（3）y=sinx圖象向左平移個單位，然后橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變，最后向上平移2個單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+）+2．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的圖象變換，靈活運用三角函數(shù)的恒等變換將函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
②f（1）=1；
③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，并且稱f（x）為“友誼函數(shù)”，
請解答下列各題：
（1）若已知f（x）為“友誼函數(shù)”，求f（0）的值；
（2）函數(shù)g（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由．
（3）已知f（x）為“友誼函數(shù)”，且 0≤x1＜x2≤1，求證：f（x1）≤f（x2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③當x1，x2≥0，x1+x2≤1時有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）證明：當x∈（
1
2
，1]時，f（x）＜2x；當x∈[0，
1
2
]時，f（x）≤
1
2
f（2x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：
（1）對于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；（2）f（1）=1
（3）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）
（Ⅰ）試求f（0）的值；
（Ⅱ）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅲ）試證明：滿足上述條件的函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，都有f（x）≤2x．

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