Question

若直線2ax-by+2=0始終平分圓（0≤θ＜2π）的周長，則a•b的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：把圓的參數(shù)方程化為普通方程，找出圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線始終平分圓的周長，得到直線過圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程，得到a+b=1，然后討論a與b的正負，若a與b異號或a與b中有一個為0，則有a•b小于等于0；若a與b都大于0，根據(jù)基本不等式求出a•b的范圍，綜上，得到所有滿足題意的a•b的取值范圍．
解答：把圓的方程化為普通方程得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴圓心坐標(biāo)為（-1，2），
由題意可得直線過圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程得：
-2a-2b+2=0，即a+b=1，
若a與b異號或a，b中有一個為0，則有a•b≤0；
若a＞0，b＞0，則有a+b≥2，即a•b≤=，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，此時0＜a•b≤，
綜上，a•b的取值范圍是（-∞，]．
故選A
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及基本不等式的運用，根據(jù)題意得到已知直線過圓心是本題的突破點．