Question

20．在平面直角坐標系中，已知點O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，求$\frac{{2{{sin}^2}α+sin2α}}{1+tanα}$的值；
（2）若f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2在$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$時有最小值-1，求常數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知點的坐標求出兩個向量的坐標，結(jié)合數(shù)量積為-1求得sinαcosα的值，把$\frac{{2{{sin}^2}α+sin2α}}{1+tanα}$化切為弦得答案；
（2）化余弦為正弦，利用配方法分類求f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2得最小值，進一步求得t值得答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}=（cosα-3，sinα），\overrightarrow{BC}=（cosα，sinα-3）$，
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，
∴cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，即1-3（cosα+sinα）=-1，得$cosα+sinα=\frac{2}{3}$．
平方得：∴$1+2sinαcosα=\frac{4}{9}$，則$2sinαcosα=-\frac{5}{9}$，
∴$\frac{2si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+tanα}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{\frac{sinα+cosα}{cosα}}$=2sinαcosα=$-\frac{5}{9}$；
（2）f（x）=-2cos²α+tsinα-t²+2=$2{（sinα-\frac{t}{4}）^2}-\frac{9}{8}{t^2}$，
設sinα=m，∵$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，∴m∈（-1，1），
∴$f（m）=2{（m-\frac{t}{4}）^2}-\frac{9}{8}{t^2}$．
①當$\frac{t}{4}≤-1$，即t≤-4時，無最小值；
②當$\frac{t}{4}≥1$，即t≥4時，無最小值；
③當$-1＜\frac{t}{4}＜1$，即-4＜t＜4時，$sinα=\frac{t}{4}$時取最小值，最小值為$-\frac{9}{8}{t^2}$，
∴$-\frac{9}{8}{t^2}=-1$，$t=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，此時$\frac{t}{4}=±\frac{{\sqrt{2}}}{6}∈（-1，1）$，
綜上所述，$t=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)最值的求法，考查平面向量的坐標運算，訓練了利用換元法及配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．