Question

函數(shù)f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx在[-

π

6

，

π

3

]的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答： 解：f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx=

cos2x+1

4

+

3

4

sin2x=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=

1

2

+

1

4

=

3

4

，f（x）_min=-

1

4

+

1

4

=0，
∴函數(shù)f（x）的取值范圍是[0，

3

4

]，
故答案為：[0，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用．