Question

9．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足：cos²a₃cos²a₅-sin²a₃sin²a₅-cos2a₃=sin（a₁+a₇），a₄≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z且公差d∈（-1，0），若當(dāng)且僅當(dāng)n=8時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，則首項a₁的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{3π}{2}$，2π]
• B． （$\frac{3π}{2}$，2π）
• C． [$\frac{7π}{4}$，2π]
• D． （$\frac{7π}{4}$，2π）

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡已知的等式，根據(jù)公差d的范圍求出公差的值，代入前n項和公式后利用二次函數(shù)的對稱軸的范圍求解首項a₁取值范圍．

解答 解：∵cos²a₃cos²a₅-sin²a₃sin²a₅-cos2a₃=sin（a₁+a₇），
∴cos²a₃cos²a₅-sin²a₃sin²a₅-cos²a₃+sin²a₃=sin（a₁+a₇），
即cos²a₃（cos²a₅-1）-sin²a₃（sin²a₅-1）=sin2a₄，
即-cos²a₃sin²a₅+sin²a₃cos²a₅=sin2a₄，
即（sina₃cosa₅-cosa₃sina₅）（sina₃cosa₅+cosa₃sina₅）=sin2a₄，
即sin（a₃-a₅）sin（a₃+a₅）=sin2a₄，
即-sin2dsin（2a₄）=sin2a₄，
∵a₄≠$\frac{kπ}{2}$，∴sin2a₄≠0，
∴sin（2d）=-1．
∵d∈（-1，0），∴2d∈（-2，0），
則2d=$-\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{4}$．
由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{π}{8}$n²+（a₁+$\frac{π}{8}$）n．
對稱軸方程為n=$\frac{4}{π}$（a₁+$\frac{π}{8}$），
由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=8時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最大值，
∴$\frac{15}{2}$＜$\frac{4}{π}$（a₁+$\frac{π}{8}$）＜$\frac{17}{2}$，解得：$\frac{7π}{4}$＜a₁＜2π．
∴首項a₁的取值范圍是（$\frac{7π}{4}$，2π），
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了三角函數(shù)的有關(guān)公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了二次函數(shù)取得最值得條件，考查了計算能力．