在如圖的直三棱柱中，，點是的中點.

(1)求證：∥平面；
(2)求異面直線與所成的角的余弦值；
(3)求直線與平面所成角的正弦值；

（1）建立空間直角坐標系，利用向量證明，進而用線面平行的判定定理即可證明；
（2）
（3）

解析試題分析：因為已知直三棱柱的底面三邊分別是3、4、5，
所以兩兩互相垂直，
如圖以為坐標原點,直線分別為軸、軸、軸
建立空間直角標系，                                                     ……2分

則，，.
（1）設(shè)與的交點為，連接,則
則 
∴∥， ∵內(nèi)，平面
∴∥平面 ；                                                  ……4分
（2）∵ ∴，
.                              ……6分
∴；
∴所求角的余弦值為 .                                             ……8分
（3）設(shè)平面的一個法向量，則有：
，解得，.                                    ……10分
設(shè)直線與平面所成角為. 則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.                 ……12分
（其它方法仿此酌情給分）
考點：本小題主要考查線面平行，異面直線所成的角和線面角.
點評：解決立體幾何問題，可以用判定定理和性質(zhì)定理，也可以建立空間直角坐標系用向量方法證明，但是用向量方法時，也要依據(jù)相應的判定定理和性質(zhì)定理，定理中需要的條件要一一列舉出來，一個也不能少.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，⊥平面，為的中點，為 的中點，底面是菱形，對角線，交于點．

求證：（1）平面平面；
（2）平面⊥平面．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本題滿分12分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分．
如圖已知四棱錐的底面是邊長為6的正方形，側(cè)棱的長為8，且垂直于底面，點分別是的中點．求

（1）異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）四棱錐的表面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分l2分)
如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，ABC=60，EC面ABCD，F(xiàn)A面ABCD，G為BF的中點，若EG//面ABCD．

(1)求證：EG面ABF；
(2)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本題滿分12分)
如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，BAD＝90°，PA底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M、N分別為PC、PB的中點．

(Ⅰ)求證：PB平面ADMN；
(Ⅱ)求四棱錐P-ADMN的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點．

（1）證明：//平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（1）線段的中點為，線段的中點為，求證：；
（2）求直線與平面所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
四棱錐,面⊥面.側(cè)面是以為直角頂點的等腰直角三角形，底面為直角梯形，,∥，⊥,為上一點，且.

（Ⅰ）求證⊥；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，是的中點，是中點.

（1）求證：∥面；
（2）求直線EF與直線所成角的正切值；
（3）設(shè)二面角的平面角為，求的值.

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