Question

已知函數(shù)f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

），2≤x≤4
（1）求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≤mlog₂x對于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）=

1

2

(log2x)2-

3

2

log2x+1，2≤x≤4令t=log₂x，則y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，由此能求出函數(shù)的值域．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t2-

3

2

t+1≤mt對于1≤t≤2恒成立，從而得到m≥

1

2

t+

1

t

-

3

2

對于t∈[1，2]恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

，t∈[1，2]，能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）
=

1

2

(log2x)2-

3

2

log2x+1，2≤x≤4
令t=log₂x，則y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，
∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．
當t=

3

2

時，y_min=-

1

8

，當t=1，或t=2時，y_max=0．
∴函數(shù)的值域是[-

1

8

，0]．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t2-

3

2

t+1≤mt對于1≤t≤2恒成立．
∴m≥

1

2

t+

1

t

-

3

2

對于t∈[1，2]恒成立，
設(shè)g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

，t∈[1，2]，
∴g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

=

1

2

(t+

2

t

)-

3

2

，
∵g（1）=0，g（2）=0，
∴g（t）_max=0，∴m≥0．
故m的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．