【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個極值點，，，求實數(shù)的取值范圍，并證明.

【答案】（1）當時，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）證明見解析

【解析】

（1）求導，對分類討論，確定或解的區(qū)間，即可求出結論；

（2）求，由，得出或，有三個極值點，轉(zhuǎn)化為有兩個異于2的實根.不妨設，，根據(jù)（1）得，且，從而，由零點存在定理可得，又時，，求出實數(shù)的取值范圍是.要證，只需證明，利用，是的兩個實根，可得，.令，則，，，只需證明，即證，，令，，利用求導，求出單調(diào)區(qū)間，最值,即可證明結論.

解：（1），

當時，，在單調(diào)遞減；

當時，令，得，

當時，；當時，.

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由已知得，，

令，得或.

要使函數(shù)有三個極值點，須有三個不相等實數(shù)根，

從而有兩個異于2的實根.不妨設，，

由（1）知：，且，從而.

而當時，，，；

由零點存在定理知.

又當時，，所以實數(shù)的取值范圍是.

要證，只需證.①

因為，是的兩個實根，且，

所以，從而，所以，

令，則，，.

要證①式成立，只需證，即證，.

令，，則，所以在遞增，

所以，所以.命題得證.

練習冊系列答案
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日均濃度

空氣質(zhì)量級別

一級

二級

三級

四級

五級

六級

空氣質(zhì)量類型

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

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A.B.C.D.

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