Question

已知A_n（a_n，b_n）（n∈N*）是曲線y=e^x上的點(diǎn)，a₁=a，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足：
，n=2，3，4，…
（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；
（Ⅱ）確定a的取值集合M，使a∈M時(shí)，數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列；
（Ⅲ）證明當(dāng)a∈M時(shí)，弦A_nA_n+1（n∈N*）的斜率隨n單調(diào)遞增。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由已知得，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20120202/201202021432131831269.gif">， …………①
于是， …………②
由②-①得， …………③
于是， …………④
由④-③得， …………⑤
所以(n≥2)是常數(shù)列。
（Ⅱ）由①有，
由③有，
而⑤表明：數(shù)列分別是以a₂、a₃為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，
所以，
數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列對(duì)任意的k∈N*成立

，
即所求a的取值集合是。
（Ⅲ）弦，
任取x₀，設(shè)函數(shù)，
記，
當(dāng)上為增函數(shù)，
當(dāng)上為減函數(shù)，
所以，從而f′（x）＞0，
所以f（x）在上都是增函數(shù)；
由（Ⅱ）知，當(dāng)a∈M時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，
取；
取；
所以的斜率隨n單調(diào)遞增。