Question

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)O，C₁和C₂有公共焦點(diǎn)F，點(diǎn)F在x軸正半軸上，且C₁的長軸長、短軸長及點(diǎn)F到C₁右準(zhǔn)線的距離成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當(dāng)C₂的準(zhǔn)線與C₁右準(zhǔn)線間的距離為15時，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點(diǎn)，交C₂于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)|PQ|=

36

7

時，求|MN|的值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)C₁、C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得到a=2c，再求出C₁的右準(zhǔn)線方程、C₂的準(zhǔn)線方程，根據(jù)C₁的長軸長、短軸長及點(diǎn)F到C₁右準(zhǔn)線的距離成等比數(shù)列求出a，b，c的值，得到答案．
（2）先表示出直線l的方程，然后設(shè)M、N、P、Q四點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程進(jìn)而得到兩根之和、兩根之積再由|PQ|=

36

7

可求出c的值，最后聯(lián)立直線和拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，同樣可得到兩根之和根據(jù)是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c可最后答案．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其半焦距為c（c＞0）．則C₂：y²=4cx．
由條件知(2b)2=2a(

a2

c

-c)，得a=2c．C₁的右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，即x=4c．C₂的準(zhǔn)線方程為x=-c．
由條件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=3

3

．
從而C₁：

x2

36

+

y2

27

=1，C₂：y²=12x．
（Ⅱ）由題設(shè)知l：y=x-c，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由（Ⅰ）知C1：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，即3x²+4y²=12c²．
由

3x2+4y2=12c2 y=x-c

，知x₃，x₄滿足7x²-8cx-8c²=0，
從而|PQ|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

2

|x3-x4|=

24

7

c．
由條件|PQ|=

36

7

，得c=

3

2

，故C₂：y²=6x．
由

y2=6x y=x- 3 2

得x2-9x+

9

4

=0，所以x₁+x₂=9．
于是|MN|=|MF|+|FN|=x₁+x₂+2c=12．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題是每年的重頭戲，一般作為壓軸題出現(xiàn)，要想答對必須熟練掌握其基礎(chǔ)知識，多做練習(xí)．