Question

已知函數(shù)f（t）滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f（t）＞t；
（3）試求滿足f（t）=t的整數(shù)t的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

（1）x=y=0得f（0）=-1
x=y=-1得f（-2）=2f（-1）+2
而f（-2）=-2，∴f（-1）=-2
x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）
∴f（1）=1．

（2）x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）+n+1=f（n）+n+2
∴f（n+1）-f（n）=n+2，
∴當(dāng)n∈N₊時(shí)，f（n）=f（1）+[3+4++（n+1）]=

1

2

(n2+3n-2)則f（n）-n=

1

2

(n2+n-2)
而當(dāng)n∈N₊，且n＞1時(shí)，n²+n-2＞0，
∴f（n）＞n，則對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f（t）＞t．

（3）∵y=-x時(shí)f（x-x）=f（x）+f（-x）+1-x²
∴f（x）=x²-2-f（-x）
∵當(dāng)x∈N₊時(shí)由（2）知f(x)=

1

2

(x2+3x-2)
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-1=

1

2

[02+3×0-2]
當(dāng)x為負(fù)整數(shù)時(shí)，-x∈N₊，則f(-x)=

1

2

(x2-3x-2)，
∴f(x)=x2-2-

1

2

(x2-3x-2)=

1

2

(x2+3x-2)
故對(duì)一切x∈Z時(shí)，有f(x)=

1

2

(x2+3x-2)
∴當(dāng)t∈Z時(shí)，由f（t）=t得t²+t-2=0，即t=1或t=2
∴滿足f（t）=t的整數(shù)t有兩個(gè)．