分析 (1)由題意可知:2a=2√2,a=√2,85=2√2−16io9lz2,即85=2√2−(35)2,解得:b=1,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)(i)由題意可知:設(shè)直線y=kx+m,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)P坐標(biāo),代入直線方程l方程,由△>0,即可求得k的取值范圍;
由三角形的面積公式可知:S=12丨m丨•丨x1-x2丨=√2√m2(k2−m2+2)(k2+2)2,由基本不等式的性質(zhì),即可求得三角形面積的最大值,則橢圓的離心率√22,即可求證:△AOB面積的最大值等于橢圓C的離心率.
解答 解:(1)∵橢圓C:y2a2+x22=1(a>b>0)上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)間的距離之和為2√2,即2a=2√2,a=√2,
由O到直線4x-3y+3=0距離d=丨3丨√32+42=35,
直線4x-3y+3=0被以橢圓C的短軸為直徑的圓M截得的弦長(zhǎng)為85,
則85=2√2−zifm2ti2,即85=2√2−(35)2,解得:b=1,
∴橢圓C的方程為:y22+x2=1;
(2)(i)由題意可知:直線l:y=-1k(x+12)對(duì)稱(chēng),則設(shè)直線l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
{y=kx+my22+x2=1,整理得:(2+k2)x2+2kmx+m2-2=0,
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=-2km2+k2,x1•x2=m2−22+k2,
根據(jù)題意:△=4k2m2-4(2+k2)(m2-2)=8(k2-m2+2)>0,
設(shè)線段AB的中點(diǎn)P(x0,y0),則x0=x1+x22=-km2+k2,y0=kx0+m=2m2+k2,
∵點(diǎn)P在直線y=-1k(x+12)上,2m2+k2=-1k(-km2+k2+12),
∴m=-2+k22k,代入△>0,可得3k4+4k2-4>0,
解得:k2>23,則k<-√63或k>√63,
直線AB與y軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,
(ii)證明:△AOB面積S=12丨m丨•丨x1-x2丨=12•丨m丨•√8(k2−m2+2)k2+2=√2√m2(k2−m2+2)(k2+2)2,
由基本不等式可得:m2(k2-m2+2)≤(m2+k2−m2+22)2=(k2+2)24,
∴△AOB面積S≤√2×√14=√22,當(dāng)且僅當(dāng)m2=k2-m2+2,即2m2=k2+2,
又∵m=-2+k22k,解得:k=±√2,
當(dāng)且僅當(dāng)k=±√2時(shí),△AOB面積取得最大值為√22.
由橢圓C的方程為:y22+x2=1的離心率e=ca=√22,
∴△AOB面積的最大值等于橢圓C的離心率.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,三角形面積公式及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 12 | B. | 13 | C. | 2 | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | -1或3 | B. | -1或3 | C. | 1或3 | D. | 1或-3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 如果直線m∥平面α,直線n?α內(nèi),那么m∥n | |
B. | 如果平面α⊥平面β,任取直線m?α,那么必有m丄β | |
C. | 若直線m∥平面α,直線n∥平面α,則m∥n | |
D. | 如果平面a外的一條直線m垂直于平面a內(nèi)的兩條相交直線,那么m⊥α |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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