Question

設(shè)α為銳角，若cos（α+

π

4

）=

3

5

，求cos（2α+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：由α的范圍求出α+

π

4

的范圍，根據(jù)cos（α+

π

4

）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（α+

π

4

）的值，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出sin2（α+

π

4

）與cos2（α+

π

4

）的值，原式中的角度變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵α∈（0，

π

2

），∴α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∵cos（α+

π

4

）=

3

5

，∴sin（α+

π

4

）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴sin2（α+

π

4

）=2sin（α+

π

4

）cos（α+

π

4

）=

24

25

，cos2（α+

π

4

）=2cos²（α+

π

4

）-1=-

7

25

，
則cos（2α+

π

6

）=cos[2（α+

π

4

）-

π

3

]=

1

2

cos2（α+

π

4

）+

3

2

sin2（α+

π

4

）=

1

2

×（-

7

25

）+

3

2

×

24

25

=

-7+24 3

50

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．