Question

過直線l：y=x+9上的一點P作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），則橢圓的方程為

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，直線l與橢圓切于點P，根據(jù)橢圓定義，化為在l上求一點P，使|PF₁|+|PF₂|為最小，用對稱點法求之．

解答：解：設(shè)直線l上的占P（t，t+9），
取F₁（-3，0）關(guān)于l的對稱點Q（-9，6），
根據(jù)橢圓定義，2a=|PF₁|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|≥|QF2| =

144+36

=6

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)₂共線，即kPF2=kQF2，
即

t+9

t-3

=

6

-12

時，
上述不等式取等號，∴t=-5．
∴P（-5，4），
據(jù)c=3，a=3

5

，知a²=45，b²=36，
∴橢圓的方程為

x2

45

+

y2

36

=1．
故答案為

x2

45

+

y2

36

=1．

點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運用．