Question

某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）+k（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，列表并填入數(shù)據(jù)得到下表：

x	x1	π 6	x2	2π 3	x3
ωx+ϕ	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	y1	3	y2	-1	y3

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若f（B）=2，b=4，acos²

C

2

+ccos²

A

2

=6，求三角形ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用圖表中的數(shù)據(jù)，找出函數(shù)的最大值和最小值，以及周期求出A，ω和φ的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（B）=2先求出B的值，然后結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式，以及三角形的面積公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）由A+k=3，-A+k=-1⇒k=1，A=2，
由

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，得ω=2，
又2×

π

6

+ϕ=

π

2

⇒ϕ=

π

6

，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1；
（2）f(B)=2⇒sin(2B+

π

6

)=

1

2

，

π

6

＜2B+

π

6

＜2π+

π

6

，⇒2B+

π

6

=

5π

6

⇒B=

π

3

，acos2

C

2

+ccos2

A

2

=6，⇒a•

1+cosC

2

+c•

1+cosA

2

=6⇒a+c+b=12，
所以a+c=8，b=4⇒a2+c2-2accos

π

3

=16⇒(a+c)2-3ac=16，
所以ac=16，
所以三角形ABC的面積S=

1

2

acsinB=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角形的面積的計(jì)算，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式機(jī)械能化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．