Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAB是等邊三角形．
（1）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-P的余弦值；
（3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析：此題可利用空間向量做：根據(jù)題中條件可取AB中點(diǎn)E，取CD中點(diǎn)F，連接EF易證PE，BE，EF兩兩相互垂直故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz
（1）求出

PC

和平面ABCD的一個(gè)法向量

EP

然后利用向量的夾角公式求出cos＜

EP

，

PC

＞然后根據(jù)若cos＜

EP

，

PC

＞＞0，則PC與平面ABCD所成角為

π

2

-＜

EP

，

PC

＞；若cos＜

EP

，

PC

＞＜0則PC與平面ABCD所成角為＜

EP

，

PC

＞-

π

2

然后再結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)而可求出PC與平面ABCD所成角的正弦值．
（2）求出平面APC的一個(gè)法向量

n

，平面ABC的一個(gè)法向量

EP

然后利用向量的夾角公式求出cos＜

n

，

EP

＞而點(diǎn)P在面ABC上的投影點(diǎn)E在面ABC的內(nèi)部故二面角B-AC-P的平面角為π-＜

n

，

EP

＞（若cos＜

n

，

EP

＞＞0）或＜

n

，

EP

＞（若cos＜

n

，

EP

＞＜0）然后再結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)而可求出二面角B-AC-P的余弦值．
（3）求出平面PCD的一個(gè)法向量

n

，

AP

然后利用d=

| n • AP |

| n |

即可求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

解答：解：（1）取AB中點(diǎn)E，則PE⊥AB
∵平面PAB⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
取CD中點(diǎn)F，連接EF
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，則P（0，0，

3

），C（1，2，0）
∴

PC

=(1，2，-

3

)
平面ABCD的一個(gè)法向量

EP

=(0，0，

3

)
∴cos＜

EP

，

PC

＞=

-3

3 × 3

=-

6

4

∴PC與平面ABCD所成角的正弦值為

6

4

（2）A（-1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，

3

）
∴

AC

=(2，2，0)，

AP

=(1，0，

3

)
平面APC的一個(gè)法向量

n

=(

3

， -

3

，-1)
平面ABC的一個(gè)法向量

EP

=(0，0，

3

)
∴cos＜

n

，

EP

＞=

- 3

7 × 3

=-

7

7

∴二面角B-AC-P的余弦值為

7

7

（3）P（0，0，

3

），C（1，2，0），D（-1，2，0）
∴

PC

=(1，2，-

3

)，

CD

=(-2，0，0)
∴平面PCD的一個(gè)法向量

n

=（0，

3

，2），

AP

=(1，0，

3

)
∴d=

| n • AP |

| n |

=

2 21

7

∴點(diǎn)A到平面PCD的距離為

2 21

7

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間向量求線面角、二面角、點(diǎn)到面的距離，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是首先依據(jù)題中條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系然后根據(jù)線面角、二面角、點(diǎn)到面的距離的向量求法求出相應(yīng)的量代入即可得解！