Question

13．某房產(chǎn)開發(fā)商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加裝修費2萬元，現(xiàn)把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．
（1）若扣除投資和各種裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？
（2）若干年后開發(fā)商為了投資其他項目，有兩種處理方案：
①年平均利潤最大時，以50萬元出售該樓；
②純利潤總和最大時，以10萬元出售該樓；
問選擇哪種方案盈利更多？

Answer 1

分析 （1）設第n年獲取利潤為y萬元，n年共收入租金30n萬元．付出裝修費共n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，付出投資81萬元，由此可知利潤y=30n-（81+n²），由y＞0能求出從第幾年開始獲取純利潤．
（2）①純利潤總和最大時，以10萬元出售，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤，方案②利用基本不等式進行求解，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設第n年獲取利潤為y萬元
n年共收入租金30n萬元，付出裝修費構(gòu)成一個以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，共n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
因此利潤y=30n-（81+n²），令y＞0，
解得：3＜n＜27，
所以從第4年開始獲取純利潤．
（2）純利潤y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144，
所以15年后共獲利潤：144+10=154（萬元）．
年平均利潤W=$\frac{30n-（81+{n}^{2}）}{n}$=30-$\frac{81}{n}$-n≤30-2$\sqrt{81}$=12（當且僅當$\frac{81}{n}$=n，即n=9時取等號）所以9年后共獲利潤：12×9+50=158（萬元）．
∵154＜158，方案②時間比較短，所以選擇方案②．

點評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，同時考查了利基本不等式求函數(shù)的最值，解題時要認真審題，仔細解答．