Question

4．已知集合A={x|log₂x≥-2}，$B=\{\left.x\right|{（\frac{1}{2}）^{x-2}}≥\frac{1}{4}\}$
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）求函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$（其中x∈A∩B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式化簡集合A，B，然后利用交集運(yùn)算得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x的范圍，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡f（x），再由配方法求得函數(shù)f（x）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$A=\{\left.x\right|{log_2}x≥-2\}=\{\left.x\right|x≥\frac{1}{4}\}$，
$B=\{\left.x\right|{（\frac{1}{2}）^{x-2}}≥\frac{1}{4}\}=\{\left.x\right|x≤4\}$，
∴$A∩B=\{\left.x\right|\frac{1}{4}≤x≤4\}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：-2≤log₂x≤2，
而$f（x）=（{log_2}x-1）•（{log_2}x-2）={（{log_2}x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)${log_2}x=\frac{3}{2}$時，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{4}$，當(dāng)log₂x=-2時，f（x）_max=12．
故f（x）的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，12]．

點(diǎn)評 本題考查指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法，考查了交集及其運(yùn)算，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．